Bestimmung der Regressionsgeraden

Zum Auswerten berechnet man:

— arithmetisches Mittel
— Fehlerquadratsummen
— Fehlerproduktsumme
— Steigung der Geraden

http://www.chemie.unibas.ch/~huber/Statistik/LinReg/LRTheorie/theorie.html

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Theorie: Lineare Regression

Inhaltsverzeichnis:

• Bestimmung der Regressionsgeraden
  • Formelsammlung
  • Bestimmung der Regressionskoeffizienten a und b
• Streuungsmasse (Formelsammlung)
• Streuungsmasse (Verständnisfragen)
• Streuungsmasse (Graphisch dargestellte Beispiele)
• Vertrauensgrenzen bei der linearen Regression
• Literatur

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Bestimmung der Regressionsgeraden

Gegenstand: eine Messgrösse y, die von einem veränderlichen äusseren Parameter x abhängt.
Einfachster Fall: Lineare Abhängigkeit    y =  + ßx.

Praktische Aufgabe:

Ausgehend von N Messungen, d.h. N Wertepaaren    x1 , y1    x2 , y2     .     .     .    xN , yN die beste Interpolationsgerade ermitteln, d.h., die Gerade, für  welche die Abweichungen der Interpolationswerte Yi = a + bxi  von den gemessenen Werten yi minimal werden.

Anwendung des Prinzips der kleinsten Quadrate:            ergibt die nachstehenden Ausdrücke für a und b.

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Formelsammlung:

Zum Auswerten berechnet man:

— arithmetisches Mittel
— Fehlerquadratsummen
— Fehlerproduktsumme
— Steigung der Geraden

Der "Schwerpunkt" (, ) liegt auf der Regressionsgeraden. Damit wird die Geradengleichung zu     (Y – ) = b(x – )    oder    Y =  – b + bx.
Der Achsenabschnitt (bei x = 0) ist damit    .

a und b sind die besten unvoreingenommenen Schätzungen der wahren Werte  und ß.

Es wird vorausgesetzt, dass x fehlerfrei ist, und dass die y-Messfehlerquellen überall gleich (d.h., x-unabhängig) sind. Sonst gelten völlig andere Auswertungsverfahren.

Anmerkung.
Bei dem hier beschriebenen Verfahren handelt es sich, genau bezeichnet, um die "Regression von y nach x", mit fehlerfreiem, variablem Parameter x als Abszisse. Ebenso gut könnte man aus den N Zahlenpaaren (x_i, y_i) eine "Regression von x nach y" rechnen.
Überzeugen Sie sich selber an einem Beispiel, dass die beiden Regressionsgeraden wesentlich verschieden sind.

Regression von y nach x:    
Regression von x nach y:                Zusammenhang:     bb' = r² (Beweis s. FAQs)
Schnittpunkt 

Nur der Korrelationskoeffizient r, als ein in x und y symmetrischer Ausdruck, ist für beide Regressionstypen eine gemeinsame gültige Richtgrösse.
Bestimmen Sie daher aus dem jeweiligen Zusammenhang, wie herum Sie die lineare Regression ansetzen.

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Bestimmung der Regressionskoeffizienten a und b

Problemstellung: a und b bestimmen, so dass für die Punkte der Interpolationsgeraden    Y = a+bx :   Y_i = a+bx_i  

die Fehlerquadratsumme

zu einem Minimum wird.

Praktisches Vorgehen: Am Minimum verschwinden die partiellen Ableitungen und ergeben ein lineares Gleichungssystem in den zwei Unbekannten a und b:

( 1 )
( 2 )

Aus (1 ) folgt   

bzw. 

d.h., der Schwerpunkt  liegt auf der Geraden.

Aus ( 2 ) folgt:


    

Damit sind a und b bestimmt und können aus den oben definierten Grössen berechnet werden:
 

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